Question

16．在△ABC中，BC=5，G，O分別為三角形的重心和外心，且向量$\overrightarrow{OG}•\overrightarrow{BC}$=5，則△ABC的形狀是鈍角三角形．

Answer 1

分析 在△ABC中，取BC的中點(diǎn)為D，連接AD、OD、GD，運(yùn)用重心和外心的性質(zhì)，運(yùn)用向量的三角形法則和中點(diǎn)的向量形式，以及向量的平方即為模的平方，可得 ${\overrightarrow{AB}}^{2}$-${\overrightarrow{AC}}^{2}$=30．又BC=5，可得 AB²＞BC²+AC²，故由余弦定理可得cosC＜0，可得角C為鈍角，從而得到三角形ABC為鈍角三角形．

解答 解：在△ABC中，G，O分別為△ABC的重心和外心，
取BC的中點(diǎn)為D，連接AD、OD、GD，如圖：
則OD⊥BC，GD=$\frac{1}{3}$AD，∵$\overrightarrow{OG}$=$\overrightarrow{OD}$+$\overrightarrow{DG}$，$\overrightarrow{AD}$=$\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{2}$，
由$\overrightarrow{OG}$•$\overrightarrow{BC}$=（$\overrightarrow{OD}$+$\overrightarrow{DG}$）•$\overrightarrow{BC}$=0+$\overrightarrow{DG}$•$\overrightarrow{BC}$=-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$
=-$\frac{1}{6}$（$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AB}$）•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）=-$\frac{1}{6}$（${\overrightarrow{AC}}^{2}$-${\overrightarrow{AB}}^{2}$）=5，
可得 ${\overrightarrow{AB}}^{2}$-${\overrightarrow{AC}}^{2}$=30．
又BC=5，∴AB²=30+AC²=$\frac{6}{5}$BC²+AC²＞BC²+AC²，
故由余弦定理可得cosC＜0，故角C為鈍角，三角形ABC為鈍角三角形，
故答案為：鈍角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)用，主要考查向量的三角形法則和向量的平方即為模的平方，運(yùn)用余弦定理判斷三角形的形狀是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．