Question

3．不等式$\frac{{3{x^2}+2x+2}}{{{x^2}+x+1}}≥k$，對任意實數x都成立，滿足條件自然數k最大值為a，若已知mn＞0，m≠n，試比較log${\;}_{\frac{1}{a}}$（3m²+4mn+n²）與log${\;}_{\frac{1}{a}}$（2m²+6mn）的大�。�

Answer 1

分析 不等式$\frac{{3{x^2}+2x+2}}{{{x^2}+x+1}}≥k$，對任意實數x都成立，等價于（k-3）x²+（k-2）x+k-2≤0對于任意的實數x均成立，分類討論，利用根的判別式即可求得k的取值范圍，繼而求出a的值，在作差比較真數的大小，根據對數函數的單調性質即可比較．

解答 解：不等式$\frac{3{x}^{2}+2x+2}{{x}^{2}+x+1}$≥k對于任意的實數x均成立，等價于（k-3）x²+（k-2）x+k-2≤0對于任意的實數x均成立．
當k=3時，x+1≤0，∴x≤-1，不滿足題意；
當k≠3時，$\left\{\begin{array}{l}{k-3＜0}\\{（m-2）^{2}-4（k-3）（k-2）＜0}\end{array}\right.$，
解得k＜3，
∵滿足條件自然數k最大值為a，
∴a=3，
∵mn＞0，m≠n
∴3m²+4mn+n²-2m²-6mn=m²-2mn+n²=（m-n）²＞0，
∴3m²+4mn+n²＞2m²+6mn，
∵對數函數y=$lo{g}_{\frac{1}{3}}x$為減函數，
∴l(xiāng)og${\;}_{\frac{1}{a}}$（3m²+4mn+n²）＜log${\;}_{\frac{1}{a}}$（2m²+6mn）．

點評 本題考查二次函數在R中的恒成立問題，可以通過判別式法予以解決，也可以分離參數k，分類討論解決，以及對數函數的性質，屬于中檔題．