Question

6．設函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{a（x+2）}{x}$，a∈R．
（1）當a=1時，求f（x）的極小值；
（2）討論函數(shù)g（x）=f′（x）-$\frac{x}{6}$零點的個數(shù)；
（3）若對任意m＞n＞0，$\frac{f（m）-f（n）}{m-n}$＜1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）m當a=1時，f（x）=lnx+$\frac{x+2}{x}$，利用f′（x）判定f（x）的增減性并求出f（x）的極小值；
（2）由函數(shù)g（x）=f′（x）-$\frac{x}{6}$=$\frac{1}{x}$-$\frac{2a}{{x}^{2}}$-$\frac{x}{6}$，令g（x）=0，求出ma；設φ（x）=a，求出φ（x）的值域，討論a的取值，對應g（x）的零點情況；
（3）對任意m＞n＞0，$\frac{f（m）-f（n）}{m-n}$＜1恒成立，等價于f（m）-m＜f（n）-n恒成立；即h（x）=f（x）-x在（0，+∞）上單調遞減；h′（x）≤0，求出a的取值范圍．

解答 解：（1）當a=1時，f（x）=lnx+$\frac{x+2}{x}$，得f（x）的定義域為（0，+∞）        …（1分）
∴f′（x）=$\frac{x-2}{{x}^{2}}$                                              …（2分）
∴當x∈（0，2）時，f′（x）＜0，f（x）在（0，2）上是減函數(shù)；
當x∈（2，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）在（2，+∞）上是增函數(shù)；
∴x=2時，f（x）取得極小值f（2）=ln2+2…（4分）
（2）函數(shù)g（x）=f′（x）-$\frac{x}{6}$=$\frac{1}{x}$-$\frac{2a}{{x}^{2}}$-$\frac{x}{6}$（x＞0）
令g（x）=0，得a=$\frac{x}{2}-\frac{{x}^{3}}{12}$，設φ（x）=$\frac{x}{2}-\frac{{x}^{3}}{12}$（x＞0）…（5分）
∴φ′（x）=-$\frac{1}{4}$（x+$\sqrt{2}$）（x-$\sqrt{2}$）
當x∈（0，$\sqrt{2}$）時，φ′（x）＞0，此時φ（x）在（0，$\sqrt{2}$）上單調遞增；
當x∈（$\sqrt{2}$，+∞）時，φ′（x）＜0，此時φ（x）在（$\sqrt{2}$，+∞）上單調遞減；
∴x=$\sqrt{2}$是φ（x）的唯一極值點，且是極大值點，因此x=$\sqrt{2}$也是φ（x）的最大值點，
∴φ（x）的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{3}$，又φ（0）=0…（6分）
①當a＞$\frac{\sqrt{2}}{3}$時，函數(shù)g（x）無零點；
②a=$\frac{\sqrt{2}}{3}$時，函數(shù)g（x）有且僅有一個零點；
③當0＜a＜$\frac{\sqrt{2}}{3}$時，函數(shù)g（x）有兩個零點；
④a≤0時，函數(shù)g（x）有且只有一個零點；                                   …（8分）
綜上所述，當a＞$\frac{\sqrt{2}}{3}$時，函數(shù)g（x）無零點；a=$\frac{\sqrt{2}}{3}$或a≤0時，函數(shù)g（x）有且僅有一個零點；當0＜a＜$\frac{\sqrt{2}}{3}$時，函數(shù)g（x）有兩個零點．…（9分）
（3）對任意m＞n＞0，$\frac{f（m）-f（n）}{m-n}$＜1恒成立，等價于f（m）-m＜f（n）-n恒成立；…（10分）
設h（x）=f（x）-x=lnx+$\frac{a（x+2）}{x}$-x（x＞0），
∴h（x）在（0，+∞）上單調遞減； …（11分）
∵h′（x）=$\frac{1}{x}-\frac{2a}{{x}^{2}}-1$≤0在（0，+∞）上恒成立，…（12分）
∴a≥-$\frac{1}{2}$$（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{8}$（x＞0）恒成立                         …（13分）
∴a≥$\frac{1}{8}$（對a=$\frac{1}{8}$，h′（x）=0僅在x=$\frac{1}{2}$時成立），
∴a的取值范圍是[$\frac{1}{8}$，+∞）  …（14分）

點評 本題考查了導數(shù)的綜合應用問題，解題時應根據(jù)函數(shù)的導數(shù)判定函數(shù)的增減性以及求函數(shù)的極值和最值，應用分類討論法，構造函數(shù)等方法來解答問題，是難題．