Question

16．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q為AD的中點(diǎn)，PA=PD=2，BC=$\frac{1}{2}$AD=1，CD=$\sqrt{3}$．
（1）求證：平面PQB⊥平面PAD；
（2）在棱PC上是否存在一點(diǎn)M，使二面角M-BQ-C為30°，若存在，確定M的位置，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）通過四邊形BCDQ為平行四邊形、∠AQB=90°，及線面垂直、面面垂直的判定定理即得結(jié)論；
（2）以Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，以QA、QB、QP分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系Q-xyz，通過平面BQC的一個法向量與平面MBQ的一個法向量的夾角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，計算即得結(jié)論．

解答 （1）證明：∵AD∥BC，BC=$\frac{1}{2}$AD，Q為AD的中點(diǎn)，
∴BC∥DQ且BC=DQ，
∴四邊形BCDQ為平行四邊形，∴CD∥BQ，
∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°，即QB⊥AD，
∵PA=PD，∴PQ⊥AD，
∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ，
∵AD?平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD；
（2）結(jié)論：當(dāng)M是棱PC上靠近點(diǎn)C的四等分點(diǎn)時有二面角M-BQ-C為30°．
理由如下：
∵PA=PD，Q為AD的中點(diǎn)，∴PQ⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PQ⊥平面ABCD．
以Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，以QA、QB、QP分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系Q-xyz如圖，
∴Q（0，0，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），B（0，$\sqrt{3}$，0），C（-1，$\sqrt{3}$，0），
則平面BQC的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
設(shè)滿足條件的點(diǎn)M（x，y，z）存在，
則$\overrightarrow{PM}$=（x，y，z-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{MC}$=（-1-x，$\sqrt{3}$-y，-z），
令$\overrightarrow{PM}$=t$\overrightarrow{MC}$，其中t＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=t（-1-x）}\\{y=t（\sqrt{3}-y）}\\{z-\sqrt{3}=t（-z）}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{t}{1+t}}\\{y=\frac{\sqrt{3}t}{1+t}}\\{z=\frac{\sqrt{3}}{1+t}}\end{array}\right.$，
在平面MBQ中，$\overrightarrow{QB}$=（0，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{QM}$=（-$\frac{t}{1+t}$，$\frac{\sqrt{3}t}{1+t}$，$\frac{\sqrt{3}}{1+t}$），
∴平面MBQ的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，0，t），
∵二面角M-BQ-C為30°，
∴cos30°=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$|=$\frac{|t|}{\sqrt{3+0+{t}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得t=3，
∴滿足條件的點(diǎn)M存在，M是棱PC的靠近點(diǎn)C的四等分點(diǎn)．

點(diǎn)評 本題考查面面垂直的判定，以及求二面角的三角函數(shù)值，注意解題方法的積累，屬于中檔題．