Question

2．關(guān)于x的不等式|x²-3x|≥kx-x²-9在x∈[1，5]上恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（　�。�

• A． （-∞，6]
• B． （-∞，6）
• C． （0，6]
• D． [6，+∞）

Answer 1

分析 可以先將原式變形，根據(jù)x∈[1，5]，然后可以將k分離出來(lái)，將式子變形為$k≤|x-3|+x+\frac{9}{x}$，x∈[1，5]時(shí)恒成立，然后可以判斷不等式右邊的函數(shù)單調(diào)性，求其最大值解決問(wèn)題．

解答 解：因?yàn)閤∈[1，5]，所以原式可變形為$k≤|x-3|+x+\frac{9}{x}$，x∈[1，5]時(shí)恒成立．
令f（x）=$|x-3|+x+\frac{9}{x}$，x∈[1，5]．
易知函數(shù)y=|x-3|和$y=x+\frac{9}{x}$都在[1，3]上遞減，在[3，5]上遞增．
所以函數(shù)f（x）在[1，3]上遞減，在[3，5]上遞增．
所以f（x）_min=f（3）=6．
所以要使原式恒成立，只需k≤6成立．
故選：A

點(diǎn)評(píng) 有關(guān)不等式的恒成立問(wèn)題，一般轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題求解，要研究函數(shù)的單調(diào)性．要注意能分離參數(shù)的盡量分離參數(shù)．