Question

12．已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O處，極軸與x軸的正半軸重合，且長度單位相同；曲線C的方程是$ρ=2\sqrt{2}sin（θ-\frac{π}{4}）$，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+tcosα\\ y=1+tsinα\end{array}\right.$（t為參數(shù)，0≤α＜π），設(shè)P（2，1），直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)．
（1）當(dāng)α=0時(shí)，求|AB|的長度；
（2）求|PA|²+|PB|²的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，聯(lián)立即可得出；
（2）設(shè)t₁，t₂為相應(yīng)參數(shù)值t²+6tcosα+7=0，△＞0，cos²α＞$\frac{7}{9}$，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得|PA|²+|PB|²=（-6cosα）²-14即可得出．

解答 解：（1）曲線C的方程是$ρ=2\sqrt{2}sin（θ-\frac{π}{4}）$，化為ρ²=2ρsinθ-2ρcosθ，
∴x²+y²=2y-2x，
曲線C的方程為（x+1）²+（y-1）²=2．
當(dāng)α=0時(shí)，直線l：y=1，
代入曲線C可得x+1=±2．解得x=1或-3．
∴|AB|=4．
（2）設(shè)t₁，t₂為相應(yīng)參數(shù)值t²+6tcosα+7=0，△＞0，∴cos²α＞$\frac{7}{9}$
∴t₁+t₂=-6cosα，t₁t₂=7．
∴|PA|²+|PB|²=（-6cosα）²-14，
∴|PA|²+|PB|²∈（14，22]．

點(diǎn)評 本題考查了把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、參數(shù)的幾何意義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．