Question

14．已知函數(shù)f（x）=a^x（a＞0，a≠1）在區(qū)間[-1，2]上的最大值為8，最小值為m．若函數(shù)g（x）=（3-10m）$\sqrt{x}$是單調(diào)增函數(shù)，則a=$\frac{1}{8}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意求出m的取值范圍，再討論a的值，求出f（x）的單調(diào)性，從而求出a的值．

解答 解：根據(jù)題意，得3-10m＞0，
解得m＜$\frac{3}{10}$；
當a＞1時，函數(shù)f（x）=a^x在區(qū)間[-1，2]上單調(diào)遞增，最大值為a²=8，解得a=2$\sqrt{2}$，
最小值為m=a^-1=$\frac{1}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$＞$\frac{3}{10}$，不合題意，舍去；
當1＞a＞0時，函數(shù)f（x）=a^x在區(qū)間[-1，2]上單調(diào)遞減，最大值為a^-1=8，解得a=$\frac{1}{8}$，
最小值為m=a²=$\frac{1}{64}$＜$\frac{3}{10}$，滿足題意；
綜上，a=$\frac{1}{8}$．
故答案為：$\frac{1}{8}$．

點評 本題主要考查指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應用問題，通過討論對數(shù)函數(shù)的底數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關鍵．