Question

2．記定義在區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數y=f（x），如果存在x₀∈[a，b]，使得f（x₀）=$\frac{{∫}_{a}^f（x）dx}{b-a}$成立，則稱x₀為函數f（x）在[a，b]上的“平均值點”，那么函數f（x）=x³+2x在[-1，1]上“平均值點”的個數為（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由新定義計算定積分可將問題轉化為g（x）=x³+2x-$\frac{5}{4}$在x∈[-1，1]上的零點個數，由零點判定定理和函數單調性可得．

解答 解：由題意可得${∫}_{-1}^{1}$（x³+2x）dx=（$\frac{1}{4}$x⁴+x²）${|}_{-1}^{1}$=0，
∴函數f（x）=x³+2x在[-1，1]上“平均值點”的個數為方程x³+2x=0在[-1，1]上根的個數，
構造函數g（x）=x³+2x，則問題轉化為g（x）在x∈[-1，1]上的零點個數，
求導數可得g′（x）=3x²+2＞0，故函數g（x）在x∈[-1，1]上單調遞增，
由g（-1）g（1）＜0，故函數g（x）在x∈[-1，1]上有唯一一個零點．
故選：A．

點評 本題考查定積分的運算，涉及轉化和數形結合的思想，屬中檔題．