Question

11．如圖，在邊長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為BC的中點，點P在底面ABCD上移動，且滿足B₁P⊥D₁E，則線段B₁P的長度的最大值為（　�。�

• A． $\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$
• B． 2
• C． $2\sqrt{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出線段B₁P的長度的最大值．

解答 解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)P（a，b，0），則D₁（0，0，2），E（1，2，0），B₁（2，2，2），
$\overrightarrow{{B}_{1}P}$=（a-2，b-2，-2），$\overrightarrow{{D}_{1}E}$=（1，2，-2），
∵B₁P⊥D₁E，∴$\overrightarrow{{B}_{1}P}•\overrightarrow{{D}_{1}E}$=a-2+2（b-2）+4=0，
∴a+2b-2=0，
∴點P的軌跡是一條線段，當(dāng)a=0時，b=1；當(dāng)b=0時，a=2，
設(shè)CD中點F，則點P在線段AF上，
當(dāng)A與P重合時，線段B₁P的長度為：|AB₁|=$\sqrt{4+4}$=2$\sqrt{2}$；
當(dāng)P與F重合時，P（0，1，0），$\overrightarrow{{B}_{1}P}$=（-2，-1，-2），線段B₁P的長度|$\overrightarrow{{B}_{1}P}$|=$\sqrt{4+4+1}$=3，
當(dāng)P在線段AF的中點時，P（1，$\frac{1}{2}$，0），$\overrightarrow{{B}_{1}P}$=（-1，-$\frac{3}{2}$，-2），線段B₁P的長度|$\overrightarrow{{B}_{1}P}$|=$\sqrt{1+\frac{9}{4}+4}$=$\frac{\sqrt{29}}{2}$．
∴線段B₁P的長度的最大值為3．
故選：D．

點評 本題考查線段長的最大值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．