Question

14．$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{x+2y≥4}\\{2x+y≤4}\end{array}\right.$所表示的平面區(qū)域被直線y=kx+2分成的兩部分的面積比為1：1，求k．

Answer 1

分析 先畫出滿足條件的平面區(qū)域，解出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，根據(jù)三角形面積之間的關(guān)系，得到方程，解出k的值即可．

解答 解：不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{x+2y≥4}\\{2x+y≤4}\end{array}\right.$所表示的平面區(qū)域?yàn)槿�角形ABC，如圖示：
，
由 $\left\{\begin{array}{l}{x+2y=4}\\{2x+y=4}\end{array}\right.$．解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{3}}\\{y=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$．故點(diǎn)C（$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$）．
由 $\left\{\begin{array}{l}{2x+y=4}\\{y=kx+2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2}{k+2}}\\{y=\frac{4k+4}{k+2}}\end{array}\right.$，故點(diǎn)D（$\frac{2}{k+2}$，$\frac{4k+4}{k+2}$）
所以S_△ABD=$\frac{1}{2}$×|AB|•x_D=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{2}{k+2}$=$\frac{2}{k+2}$．
S_△ABC=$\frac{1}{2}$×|AB|•x_C=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{4}{3}$=$\frac{4}{3}$．
又因?yàn)槠矫鎱^(qū)域被直線y=kx+2 分為面積相等的兩部分
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$S_△ABC  即 $\frac{2}{k+2}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$，解得k=1．

點(diǎn)評 本題考查了簡單的線性規(guī)劃問題，考查數(shù)形結(jié)合思想，是一道基礎(chǔ)題．