Question

3．已知△ABC的周長(zhǎng)為1，且sin2A+sin2B=4sinA•sinB，則△ABC的面積的最大值為$\frac{1}{4}$（3-2$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 判斷三角形ABC只能是C為直角的直角三角形，再求△ABC的面積的最大值．

解答 解：∵sin2A+sin2B=4sinAsinB
∴2sinAcosA+2sinBcosB=4sinAsinB，
即：sinAcosA+sinBcosB=2sinAsinB，
∴sinA（cosA-sinB）=sinB（sinA-cosB）
∵sinA，sinB為正，
∴cosA-sinB與sinA-cosB同號(hào)，或都為0（*）
（1）C是鈍角，則A+B＜90°，∴A＜90°-B，
∴sinA＜sin（90°-B）=cosB，cosA＞cos（90°-B）=sinB，
∴（*）不成立
（2）C是銳角，則A+B＞90°，∴A＞90°-B，
∴sinA＞sin（90°-B）=cosB，cosA＜cos（90°-B）=sinB，
∴（*）不成立，
∴三角形ABC只能是C為直角的直角三角形．
∵△ABC的周長(zhǎng)為1，
∴a+b+$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=1，
∴1≥2$\sqrt{ab}$+$\sqrt{2ab}$，
∴$\sqrt{ab}$≤$\frac{1}{2+\sqrt{2}}$=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$，
∴ab≤$\frac{3-2\sqrt{2}}{2}$
∴面積的最大值為$\frac{1}{4}$（3-2$\sqrt{2}$），
故答案為：$\frac{1}{4}$（3-2$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形形狀的判斷，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．