Question

6．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c，x∈[-3，3]的圖象過原點(diǎn)，且在點(diǎn)（1，f（1））和點(diǎn)（-1，f（-1））處的切線斜率為-2，則f（x）=（　　）

• A． 是奇函數(shù)
• B． 是偶函數(shù)
• C． 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)
• D． 是非奇非偶函數(shù)

Answer 1

分析 由圖象過原點(diǎn)，可得c=0，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，解方程可得a=0，b=-5，再由奇偶性的定義，即可判斷f（x）為奇函數(shù)..

解答 解：函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c，x∈[-3，3]的圖象過原點(diǎn)，
可得c=0，
f（x）=x³+ax²+bx+c的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x²+2ax+b，
可得在x=1處的切線的斜率為3+2a+b=-2，
x=-1處的切線的斜率為3-2a+b=-2，
解方程可得a=0，b=-5，
則f（x）=x³-5x，x∈[-3，3]，
由f（-x）=-f（x），可得f（x）為奇函數(shù)．
故選A．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，考查函數(shù)的奇偶性的判斷，屬于中檔題．