Question

15．若函數(shù)f（x）=2sin（2x+φ）（-π＜φ＜0）圖象的一個對稱中心為（$\frac{7π}{12}$，0）．
（1）求φ的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）由題意利用正弦函數(shù)的圖象的對稱性可得φ的值．
（2）由條件利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．
（3）由條件利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]上的值域．

解答 解：（1）由于函數(shù)f（x）=2sin（2x+φ）（-π＜φ＜0）圖象的一個對稱中心為（$\frac{7π}{12}$，0），
故有2•$\frac{7π}{12}$+φ=kπ，k∈π，求得φ=-$\frac{π}{6}$，∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
（2）對于函數(shù)f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，
求得kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{6}$，可得函數(shù)的減區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{5π}{6}$]，k∈Z．
（3）∵x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，∴2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，∴sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
故函數(shù)的值域為[-$\sqrt{3}$，2]．．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的圖象的對稱性，正弦函數(shù)的單調(diào)性，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．