Question

18．集成電路E由3個(gè)不同的電子元件組成，現(xiàn)由于元件老化，三個(gè)電子元件能正常工作的概率分別降為$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$，且每個(gè)電子元件能否正常工作相互獨(dú)立，若三個(gè)電子元件中至少有2個(gè)正常工作，則E能正常工作，否則就需要維修，且維修集成電路E所需費(fèi)用為100元．
（Ⅰ）求集成電路E需要維修的概率；
（Ⅱ）若某電子設(shè)備共由2個(gè)集成電路E組成，設(shè)X為該電子設(shè)備需要維修集成電路所需的費(fèi)用，求X的分布列和期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由條件利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式求得3個(gè)元件都不能正常工作的概率P₁ 的值，3個(gè)元件中的2個(gè)不能正常工作的概率P₂ 的值，再把P₁ 和P₂相加，即得所求．
（Ⅱ）設(shè)ξ為維修集成電路的個(gè)數(shù)，則ξ服從B（2，$\frac{5}{12}$），求得P（X=100ξ）=P（ξ=k） 的值，可得X的分布列，從而求得X的期望．

解答 解：（Ⅰ）三個(gè)電子元件能正常工作分別記為事件A，B，C，則P（A）=$\frac{1}{2}$，P（B）=$\frac{1}{2}$，P（C）=$\frac{2}{3}$．
依題意，集成電路E需要維修有兩種情形：
①3個(gè)元件都不能正常工作，概率為P₁=P（$\overline{A}$$\overline{B}$$\overline{C}$）=P（$\overline{A}$）P（$\overline{B}$）P（$\overline{C}$）=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{12}$．
②3個(gè)元件中的2個(gè)不能正常工作，概率為P₂=P（A$\overline{B}$$\overline{C}$）+P（$\overline{A}$B$\overline{C}$）+P（$\overline{A}$$\overline{B}$C）
=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$．
所以，集成電路E需要維修的概率為P₁+P₂=$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{3}$=$\frac{5}{12}$．
（Ⅱ）設(shè)ξ為維修集成電路的個(gè)數(shù)，則ξ服從B（2，$\frac{5}{12}$），而X=100ξ，
P（X=100ξ）=P（ξ=k）=${C}_{2}^{K}$•${（\frac{5}{12}）}^{k}$•${（\frac{7}{12}）}^{2-k}$，k=0，1，2．
X的分布列為：

X	0	100	200
P	$\frac{49}{144}$	$\frac{35}{72}$	$\frac{25}{144}$

∴EX=0×$\frac{49}{144}$+100×$\frac{35}{72}$+200×$\frac{25}{144}$=$\frac{250}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查相互獨(dú)立事件的概率乘法公式、互斥事件的概率加法公式，離散型隨機(jī)變量的分布列，屬于中檔題．