Question

8．畫出不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x-y+5≥0}\\{x+y≥0}\\{x≤3}\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域，設該平面區(qū)域為A，在此條件下解決下面問題：
（1）求A的面積；
（2）設B={（x-y，x+y）|（x，y）∈A}，求B的面積；
（3）求z=3x+y的最值；
（4）求z=x²+（y+1）²的最小值；
（5）求z=$\frac{y+1}{x+1}$的值域；
（6）求z=ax+y（a＞1）的最大值．

Answer 1

分析 （1）作出不等式組對應的平面區(qū)域求出交點坐標，即可求A的面積；
（2）設m=x-y，n=x+y，轉化為關于m，n的不等式組即可求B的面積；
（3）利用直線的截距，即可求z=3x+y的最值；
（4）根據(jù)點到直線的距離公式即可求z=x²+（y+1）²的最小值；
（5）根據(jù)兩點間的斜率關系即可求z=$\frac{y+1}{x+1}$的值域；
（6）根據(jù)直線的截距和z的關系即可求z=ax+y（a＞1）的最大值．

解答 解：（1）作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y+5}\\{x=3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=8}\end{array}\right.$，即A（3，8），
由$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{x+y=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=-3}\end{array}\right.$，即C（3，-3），
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y+5=0}\\{x+y=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{5}{2}}\\{y=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，即B（-$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{2}$），
則|AC|=8-（-3）=11，B到直線x=3的距離d=3-（-$\frac{5}{2}$）=$\frac{11}{2}$，
則A的面積S=$\frac{1}{2}×11×\frac{11}{2}=\frac{121}{4}$；
（2）設B={（x-y，x+y）|（x，y）∈A}，求B的面積；
設m=x-y，n=x+y，
則x=$\frac{m+n}{2}$，y=$\frac{n-m}{2}$，
代回不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x-y+5≥0}\\{x+y≥0}\\{x≤3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{m+5≥0}\\{n≥0}\\{\frac{m+n}{2}≤3}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{m≥-5}\\{n≥0}\\{m+n≤6}\end{array}\right.$，對應的平面區(qū)域為：
其中G（6，0），F(xiàn)（-5，0），E（-5，11），
則GF=6-（-5）=11，EF=11，
則三角形EFG的面積S=$\frac{1}{2}×11×11$=$\frac{121}{2}$．
（3）由z=3x+y，得y=-3x+z，
平移直線y=-3x+z（黑線），由圖象可知當直線y=-3x+z，經(jīng)過點A時，直線y=-3x+z的截距最大，
此時z最大為z=3×3+8=9+8=17，
平移直線y=-3x+z，由圖象可知當直線y=-3x+z，經(jīng)過點B時，直線y=-3x+z的截距最小，
此時z最小為z=3×（-$\frac{5}{2}$）+$\frac{5}{2}$=-5．
（4）z=x²+（y+1）²的幾何意義為區(qū)域內的點到定點E（0，-1）的距離，
由圖象知E到BC的距離最小，此時距離d=$\frac{|1|}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，
則z的最小值為z=d²=$\frac{1}{2}$；
（5）z=$\frac{y+1}{x+1}$的幾何意義為區(qū)域內的點到點F（-1，-1）的斜率（紅線），
BF的斜率k=$\frac{\frac{5}{2}+1}{-\frac{5}{2}+1}$=-2，CF的斜率k=$\frac{-3+1}{3+1}=-\frac{1}{2}$，
故z$≥-\frac{1}{2}$或z≤-2，
即z的值域為{z|z$≥-\frac{1}{2}$或z≤-2}；
（6）由z=ax+y（a＞1）得y=-ax+z，則斜率k=-a＜-1．
平移直線y=-ax+z，由圖象知當直線y=-ax+z經(jīng)過點A時直線的截距最大，此時z最大為z=3a+11．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應用，涉及目標函數(shù)的幾何意義，結合直線的截距，兩點間的斜率，以及距離公式是解決本題的關鍵．綜合性較強．