Question

3．已知f（x）=$\sqrt{x+8-\frac{a}{x}}$在（1，+∞）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的范圍．

Answer 1

分析 令t=x+8-$\frac{a}{x}$（t≥0），則f（x）=$\sqrt{t}$在[0，+∞）遞增，即有t在（1，+∞）上單調(diào)遞增，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，由恒成立思想可得a的范圍，同時(shí)注意當(dāng)x=1時(shí)，t≥0，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：令t=x+8-$\frac{a}{x}$（t≥0），
則f（x）=$\sqrt{t}$在[0，+∞）遞增，
即有t在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
即t′=1+$\frac{a}{{x}^{2}}$≥0在（1，+∞）上恒成立，
即有a≥-x²，由-x²＜-1．
則a≥-1①
又1+8-a≥0，解得a≤9②
由①②解得-1≤a≤9．
故a的范圍是[-1，9]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷，注意轉(zhuǎn)化為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，運(yùn)用恒成立思想，易忽視定義域，屬于中檔題和易錯(cuò)題．