Question

18．函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x³+sinx+2x的定義域為R，數(shù)列{a_n}是公差為d的等差數(shù)列，且a₁+a₂+a₃+a₄+…a₂₀₁₃＜0，記m=f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…f（a₂₀₁₃），關(guān)于實數(shù)m，下列說法正確的是（　　）

• A． m恒為負數(shù)
• B． m恒為正數(shù)
• C． 當(dāng)d＞0時，m恒為正數(shù)；當(dāng)d＜0時，m恒為負數(shù)
• D． 當(dāng)d＞0時，m恒為負數(shù)，當(dāng)d＜0時，m恒為正數(shù)

Answer 1

分析 由函數(shù)的解析式可得f（x）是奇函數(shù)，由它的導(dǎo)數(shù)f′（x）≥0，可得函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)．分d＞0和d＜0以及d=0三種情況，分別利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，求得 f（a₁）+f（a₂₀₁₃）＜0，f（a₂）+f（a₂₀₁₂）＜0，f（a₃）+f（a₂₀₁₁）＜0，…，從而得到m＜0，從而得出結(jié)論．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x³+sinx+2x的定義域為R、是奇函數(shù)，
且它的導(dǎo)數(shù)f′（x）=$\frac{3}{2}$x²+cosx+2≥0，故函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)．
因為數(shù)列{a_n}是公差為d的等差數(shù)列，分3種情況討論：
①當(dāng)d＞0時，數(shù)列為遞增數(shù)列，由a₁+a₂₀₁₃＜0，
可得a₂₀₁₃＜-a₁，∴f（a₂₀₁₃）＜f（-a₁）=-f（a₁），∴2f（a₁₀₀₇）=f（a₁）+f（a₂₀₁₃）＜0．
同理可得，f（a₂）+f（a₂₀₁₂）＜0，f（a₃）+f（a₂₀₁₁）＜0，…
故 m=f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₂₀₁₂）+f（a₂₀₁₃）
=f（a₁）+f（a₂₀₁₃）+f（a₂）+f（a₂₀₁₂）+f（a₃）+f（a₂₀₁₁）+…+f（a₁₀₀₇）＜0．
②當(dāng)d＜0時，數(shù)列為遞減數(shù)列，同理求得 m＜0．
③當(dāng)d=0時，該數(shù)列為常數(shù)數(shù)列，每一項都小于，故有f（a_n）＜0，
綜上，有m=f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₂₀₁₂）+f（a₂₀₁₃）＜0，
故選A．

點評 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于中檔題．