Question

9．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1前n項和S_n=$\frac{3}{2}$n²-$\frac{1}{2}$n．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）設(shè)b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$，求證：b₁+b₂+…+b_n＞$\frac{2}{7}$．

Answer 1

分析 （I）利用遞推式即可得出；
（II）利用等比數(shù)列的定義及其前n項和公式即可得出．

解答 （Ⅰ）解：∵S_n=$\frac{3}{2}$n²-$\frac{1}{2}$n．
∴當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{3}{2}$n²-$\frac{1}{2}$n-$[\frac{3}{2}（n-1）^{2}-\frac{1}{2}（n-1）]$=3n-2，
當(dāng)=1時，也成立．
∴a_n=3n-2．
（Ⅱ）證明：∵$_{n}={2}^{{a}_{n}}$=2^3n-2，
∴$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=$\frac{{2}^{3（n+1）-2}}{{2}^{3n-2}}$=8，
∴數(shù)列{b_n}是以2為首項，以8為公比的等比數(shù)列，
∴b₁+b₂+…+b_n=$\frac{2（{8}^{n}-1）}{8-1}$=$\frac{2}{7}（{8}^{n}-1）$$＞\frac{2}{7}$．

點評 本題考查了遞推式的應(yīng)用、等比數(shù)列的定義及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．