Question

1．已知函數(shù)f（x）=ax-lnx-1（a∈R）．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)的極值點的個數(shù)；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，對任意的x∈（0，+∞），f（x）≥bx-2恒成立，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函數(shù)的導函數(shù)，然后對a分類討論導函數(shù)的符號，在a＞0時由導函數(shù)在不同區(qū)間內(nèi)的符號得到原函數(shù)的單調(diào)性，從而求得函數(shù)的極值點；
（Ⅱ）由函數(shù)f（x）在x=1處取得極值求得a，代入函數(shù)解析式，進一步代入f（x）≥bx-2，分離參數(shù)b后構(gòu)造函數(shù)g（x）=1+$\frac{1}{x}-\frac{lnx}{x}$，利用導數(shù)求其最小值后得答案．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=ax-lnx-1，得f′（x）=a-$\frac{1}{x}=\frac{ax-1}{x}$，
當a≤0時，f′（x）＜0在（0，+∞）恒成立，∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
∴f（x）在（0，+∞）上沒有極值點；
當a＞0時，由f′（x）＜0，得0$＜x＜\frac{1}{a}$，由f′（x）＞0，得x$＞\frac{1}{a}$．
∴f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上單調(diào)遞減，在（$\frac{1}{a}，+∞$）上單調(diào)遞增，即f（x）在x=$\frac{1}{a}$處有極小值．
∴當a≤0時，f（x）在（0，+∞）上沒有極值點．
當a＞0時，f（x）在（0，+∞）上有一個極值點；
（Ⅱ）∵函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，∴a=1，
∴f（x）≥bx-2等價于$1+\frac{1}{x}-\frac{lnx}{x}≥b$，
令g（x）=1+$\frac{1}{x}-\frac{lnx}{x}$，得g′（x）=$\frac{-2+lnx}{{x}^{2}}$，
由g′（x）=0，可得x=e²，
當x∈（0，e²）時，g′（x）＜0，當x∈（e²，+∞）時，g′（x）＞0，
∴g（x）在（0，e²）上遞減，在（e²，+∞）上遞增，
∴$g（x）_{min}=g（{e}^{2}）=1-\frac{1}{{e}^{2}}$，
∴$b≤1-\frac{1}{{e}^{2}}$．

點評 本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的極值，考查了函數(shù)恒成立問題，訓練了函數(shù)構(gòu)造法和分離參數(shù)法，是中高檔題．