Question

13．已知雙曲線C₁：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的離心率為2，若拋物線C₂：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)到雙曲線C₁的漸近線的距離是2，則拋物線C₂的方程是（　�。�

• A． y²=8x
• B． y²=$\frac{{16\sqrt{3}}}{3}$x
• C． y²=$\frac{{8\sqrt{3}}}{3}$x
• D． y²=16x

Answer 1

分析 通過(guò)雙曲線C₁的離心率為2，可知3a²=b²，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得p=6，進(jìn)而可得結(jié)論．

解答 解：∵雙曲線C₁：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的離心率為2，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}{a}$=2，即3a²=b²，
∴雙曲線C₁的漸近線方程為：ax±by=0，
又∵拋物線C₂：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)到雙曲線C₁的漸近線的距離是2，
∴2=$\frac{a•\frac{p}{2}}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$，解得p=8，
∴拋物線C₂的方程為：y²=16x，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．