Question

7．設函數(shù)f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）．
（1）若g（x）=$\frac{f（x）}{x+1}$，當a=1，b=2時，求g（x）在[0，1]上的最小值；
（2）若h（x）=f（2^x-2^-x）+2^2x+2^-2x，b=2，求h（x）在[1，+∞）上的最小值m（a）的解析式；
（3）若存在x∈[0，1]，使得f（x）=0，且0≤b-2a≤1，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當a=1，b=2時，g（x）=$\frac{f（x）}{x+1}$=x+$\frac{2}{x+1}$，利用導數(shù)法，分析函數(shù)的單調性，進而可得函數(shù)的最值；
（2）當b=2時，f（x）=x²+ax+2，h（x）=f（2^x-2^-x）+2^2x+2^-2x=2（2^x-2^-x）²+a（2^x-2^-x）+4，令t=2^x-2^-x，結合二次函數(shù)的圖象和性質，可得h（x）在[1，+∞）上的最小值m（a）的解析式；
（3）若存在x∈[0，1]，使得f（x）=0，且0≤b-2a≤1，則f（0）=b≥0，f（1）=1+a+b≤0，或f（0）=b≤0，f（1）=1+a+b≥0，又由0≤b-2a≤1，結合線性規(guī)劃的知識，可得b的范圍．

解答 解：（1）當a=1，b=2時，g（x）=$\frac{f（x）}{x+1}$=$\frac{{x}^{2}+x+2}{x+1}$=x+$\frac{2}{x+1}$，
則g′（x）=1-$\frac{2}{（x+1）^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+2x-1}{{（x+1）}^{2}}$，
令g′（x）=0，則x=-1-$\sqrt{2}$，或x=-1+$\sqrt{2}$，
當x∈[0，-1+$\sqrt{2}$]時，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)；
當x∈[-1+$\sqrt{2}$，1]時，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)；
故當x=-1+$\sqrt{2}$時，g（x）取最小值2$\sqrt{2}$-1；
（2）當b=2時，f（x）=x²+ax+2，
h（x）=f（2^x-2^-x）+2^2x+2^-2x=2（2^x-2^-x）²+a（2^x-2^-x）+4，
令t=2^x-2^-x，x∈[1，+∞），則t∈[$\frac{3}{2}$，+∞），
y=h（x）=2t²+at+4，t∈[$\frac{3}{2}$，+∞），
由y=2t²+at+4的圖象是開口朝上，且以t=-$\frac{a}{4}$為對稱軸的拋物線，
故當-$\frac{a}{4}$≤$\frac{3}{2}$，即a≥-6時，m（a）=$y{|}_{t=\frac{3}{2}}$=h（1）=$\frac{1}{2}$（3a+17）；
當-$\frac{a}{4}$＞$\frac{3}{2}$，即a＜-6時，m（a）=$y{|}_{t=-\frac{a}{4}}$=4-$\frac{{a}^{2}}{8}$$\frac{{a}^{2}}{8}$；
綜上所述，m（a）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}（3a+17），a≥-6\\ 4-\frac{{a}^{2}}{8}，a＜-6\end{array}\right.$
（3）若存在x∈[0，1]，使得f（x）=0，
則f（0）=b≥0，f（1）=1+a+b≤0，
或f（0）=b≤0，f（1）=1+a+b≥0，
又由0≤b-2a≤1，
故（a，b）對應的平面區(qū)域如下圖所示：

故b∈[-$\frac{2}{3}$，0]

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質，是解答的關鍵．