Question

15．平面內(nèi)給定三個(gè)向量$\overrightarrow a=（{3，2}），\overrightarrow b=（{-1，2}），\overrightarrow c=（{4，1}）$
（1）求滿足$\overrightarrow a=m\overrightarrow b+n\overrightarrow c$的實(shí)數(shù)m、n；
（2）設(shè)$\overrightarrow d=（{x，y}）$滿足$（{\overrightarrow d-\overrightarrow c}）∥（{\overrightarrow a+\overrightarrow b}）$且$|{\overrightarrow d-\overrightarrow c}|=1$，求$\overrightarrow d$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量相等與坐標(biāo)運(yùn)算，列出方程組，求出m、n的值；
（2）根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合向量平行與模長的坐標(biāo)表示，列出方程組，求出結(jié)果．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow a=m\overrightarrow b+n\overrightarrow c$，
∴（3，2）=m（-1，2）+n（4，1），
即$\left\{\begin{array}{l}-m+4n=3\\ 2m+n=2\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}m=\frac{5}{9}\\ n=\frac{8}{9}.\end{array}\right.$；
（2）∵$\overrightarrow d-\overrightarrow c=（{x-4，y-1}）$，$\overrightarrow a+\overrightarrow b=（{2，4}）$，
又$（{\overrightarrow d-\overrightarrow c}）∥（{\overrightarrow a+\overrightarrow b}）$，且$|{\overrightarrow d-\overrightarrow c}|=1$，
∴$\left\{\begin{array}{l}4（x-1）-2（y-1）=0\\{（x-4）^2}+{（y-1）^2}=1\end{array}\right.$；
解得$\left\{\begin{array}{l}x=4+\frac{{\sqrt{5}}}{5}\\ y=1+\frac{{2\sqrt{5}}}{5}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}x=4-\frac{{\sqrt{5}}}{5}\\ y=1-\frac{{2\sqrt{5}}}{5}\end{array}\right.$；
∴$\overrightarrow d=（{\frac{{20+\sqrt{5}}}{5}，\frac{{5+2\sqrt{5}}}{5}}）$，或$（\frac{{20-\sqrt{5}}}{5}，\frac{{5-2\sqrt{5}}}{5}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的坐標(biāo)表示與運(yùn)算問題，也考查了解方程組的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．