Question

16．設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+x，已知集合P={x|0≤x≤1}，若關(guān)于x的不等式|f（x）|≤1的解集為M，且P⊆M，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)集合P={x|0≤x≤1}，關(guān)于x的不等式|f（x）|≤1的解集為M，且P⊆M，對(duì)a的取值進(jìn)行分類討論，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分析滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答 解：當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x，解|f（x）|≤1得：M={x|-1≤x≤1}，滿足P⊆M，
當(dāng)a＞0時(shí)，f（1）=a+1＞1恒成立，
即1∉M，則不滿足P⊆M，
當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）=ax²+x在x=-$\frac{1}{2a}$時(shí)取最大值$\frac{-1}{4a}$，
若1≤-$\frac{1}{2a}$，則若P⊆M，則f（1）=a+1≤1，解得：$-\frac{1}{2}$≤a＜0，
若1＞-$\frac{1}{2a}$，則若P⊆M，則|f（1）|=|a+1|≤1，且$\frac{-1}{4a}$≤1，解得：-2≤a＜$-\frac{1}{2}$，
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-2，0]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，要求熟練掌握二次函數(shù)性質(zhì)和應(yīng)用．