Question

19．已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a₂=λ-1，a_n+2-a_n=λ，n∈N^*，其中λ為常數(shù)，
（1）若λ=4，求數(shù)列{a_n}的前20項(xiàng)和S₂₀；
（2）是否存在實(shí)數(shù)λ，使得{a_n}為等差數(shù)列？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)λ=4時(shí)可知數(shù)列{a_2n-1}是以1為首項(xiàng)、4為公差的等差數(shù)列，數(shù)列{a_2n}是以3為首項(xiàng)、4為公差的等差數(shù)列，進(jìn)而分組求和即得結(jié)論；
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，使得{a_n}為等差數(shù)列，則a_n+2-a_n=2（a₂-a₁），進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)λ=4時(shí)，a₁=1，a₂=3，a_n+2-a_n=4，n∈N^*，
∴數(shù)列{a_2n-1}是以1為首項(xiàng)、4為公差的等差數(shù)列，數(shù)列{a_2n}是以3為首項(xiàng)、4為公差的等差數(shù)列，
∴S₂₀=（10+$\frac{10×9}{2}$×4）+（30+$\frac{10×9}{2}$×4）=400；
（2）結(jié)論：存在實(shí)數(shù)λ=4，使得{a_n}為等差數(shù)列．
理由如下：
假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，使得{a_n}為等差數(shù)列，則a_n+2-a_n=2（a₂-a₁），
∴λ=2[（λ-1）-1]，
解得：λ=4，
又∵當(dāng)λ=4時(shí)，a₁=1，a₂=3，
∴a₃=4+a₁=5，a₄=4+a₂=7，…
結(jié)合（1）可知存在實(shí)數(shù)λ=4，使得{a_n}為等差數(shù)列．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的求和，注意解題方法的積累，屬于中檔題．