Question

9．如圖，D，E分別為△ABC的邊AB，AC上的點(diǎn)，且不與△ABC的頂點(diǎn)重合，已知AD•AB=AE•AC
（1）求證：B，C，D，E四點(diǎn)共圓
（2）若三角形ABC是邊長(zhǎng)為3的正三角形，且AD=1，求B，C，D，E四點(diǎn)所在的圓的半徑．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)比例式得到三角形相似，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，得到結(jié)論．
（2）由題意，BCED是等腰梯形，且高為$\sqrt{3}$．設(shè)C，B，D，E四點(diǎn)共圓的半徑為r，則$\sqrt{{r}^{2}-\frac{1}{4}}+\sqrt{{r}^{2}-\frac{9}{4}}$=$\sqrt{3}$，即可得到半徑的大�。�

解答 （1）證明：∵AD•AB=AE•AC，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$
又∠DAE=∠CAB，從而△ADE∽△ACB
因此∠ADE=∠ACB
∴C，B，D，E四點(diǎn)共圓．
（2）解：由題意，BCED是等腰梯形，且高為$\sqrt{3}$．
設(shè)C，B，D，E四點(diǎn)共圓的半徑為r，
則$\sqrt{{r}^{2}-\frac{1}{4}}+\sqrt{{r}^{2}-\frac{9}{4}}$=$\sqrt{3}$，
∴r=$\frac{\sqrt{21}}{3}$，
∴B，C，D，E四點(diǎn)所在的圓的半徑為$\frac{\sqrt{21}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓周角定理，考查與圓有關(guān)的比例線段，考查四點(diǎn)共圓的判斷和性質(zhì)，本題是一個(gè)幾何證明的綜合題．