Question

17．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞0，b＞0），右焦點(diǎn)為F，過(guò)F作一條漸近線的垂線，垂足為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△OMF面積為$\frac{\sqrt{3}}{8}{c}^{2}$（其中c為半焦距），則該雙曲線離心率可能為（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• C． 3
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 設(shè)過(guò)F（c，0）與一條漸近線bx-ay=0垂直的直線為l，則l的方程為y=-$\frac{a}$（x-c），與bx-ay=0聯(lián)立可得M（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），利用△OMF面積為$\frac{\sqrt{3}}{8}{c}^{2}$（其中c為半焦距），可得ab=$\frac{\sqrt{3}}{4}$c²，即可求出雙曲線離心率．

解答 解：設(shè)過(guò)F（c，0）與一條漸近線bx-ay=0垂直的直線為l，則l的方程為y=-$\frac{a}$（x-c）
與bx-ay=0聯(lián)立可得M（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$）
因?yàn)椤鱋MF面積為$\frac{\sqrt{3}}{8}{c}^{2}$（其中c為半焦距），
所以$\frac{1}{2}×c×\frac{ab}{c}$=$\frac{\sqrt{3}}{8}{c}^{2}$，
所以ab=$\frac{\sqrt{3}}{4}$c²，
所以3e⁴-16e²+16=0，
所以e=2或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線離心率，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定M的坐標(biāo)是關(guān)鍵．