Question

12．設(shè)命題P：|x-3|+|x+1|≤6，命題：q：|x+a|＞x+a．
（1）求命題p，q分別對應(yīng)的不等式的解集A，B；
（2）若p是q的既不充分也不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）對于命題p：由于：x-3|+|x+1|=$\left\{\begin{array}{l}{2x-2，x＞3}\\{4，-1≤x≤3}\\{-2x+2，x＜-1}\end{array}\right.$，可得|x-3|+|x+1|≤6的解集為[-2，4]=A；對于命題q：由于|x+a|＞x+a．可得x+a＜0，可得|x+a|＞x+a的解集為（-∞，-a）=B．
（2）由于p是q的既不充分也不必要條件，即可得出．

解答 解：（1）對于命題p：∵|x-3|+|x+1|=$\left\{\begin{array}{l}{2x-2，x＞3}\\{4，-1≤x≤3}\\{-2x+2，x＜-1}\end{array}\right.$，
∴當(dāng)x＞3時(shí)，由2x-2≤6，解得3＜x≤4；
當(dāng)3≥x≥-1時(shí)，由4≤6，解得-1≤x≤3；
當(dāng)x＜-1時(shí)，由-2x+2≤6，解得-2≤x＜-1．
綜上可得：|x-3|+|x+1|≤6的解集為[-2，4]=A．
對于命題q：∵|x+a|＞x+a．∴x+a＜0，解得x＜-a．
∴|x+a|＞x+a的解集為（-∞，-a）=B．
（2）∵p是q的既不充分也不必要條件，
∴4≥-a，
解得a≥-4．

點(diǎn)評 本題考查了絕對值不等式的解法、分類討論方法、簡易邏輯的有關(guān)知識(shí)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．