Question

4．如圖，設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為1，則直線B₁C與平面AB₁D₁所成的角的正弦值是（　�。�

• A． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{6}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)線面角的定義先確定直線B₁C與平面AB₁D₁所成的角平面角，然后根據(jù)條件進(jìn)行求值即可．

解答 解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間坐標(biāo)系如圖：
則A（1，0，0），D₁（0，0，1），B_{1（1，1，1）}，C（0，1，0）．
則$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=（-1，0，-1），$\overrightarrow{{AD}_{1}}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{{AB}_{1}}$=（0，1，1），
設(shè)平面AB₁D₁的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{AD}_{1}}=0\\ \overrightarrow{n}•\overrightarrow{{AB}_{1}}=0\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}-x+z=0\\ y+z=0\end{array}\right.$，令z=1，則x=1，y=-1，即$\overrightarrow{n}$=（1，-1，1）．
則$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=（1，-1，1）•（-1，0，-1）=-1-1=-2，|$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{{B}_{1}C}$|=$\sqrt{2}$．
所以設(shè)直線B₁C與平面AB₁D₁所成的角是θ，則sinθ=|cos（$\frac{π}{2}$-θ）|=|$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{B}_{1}C}}{\left|\overrightarrow{n}\right|\left|\overrightarrow{{B}_{1}C}\right|}$|=|$\frac{-2}{\sqrt{3}×\sqrt{2}}$|=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題只有考查空間直線和平面所成角的求法，利用向量法是解決空間角的基本方法，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．