Question

2．已知中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線的左、右焦點分別記為F₁、F₂，若P為雙曲線的漸近線上一點，若|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$-$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|，且|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=a（a為實軸長），求雙曲線的離心率．

Answer 1

分析 運用向量數(shù)量積的性質(zhì)，平方可得$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，即有P在以F₁F₂為直徑的圓上，求得漸近線方程和圓方程，解得交點P，再由條件，結(jié)合a，b，c的關系和離心率公式及范圍，即可得到所求值．

解答 解：若|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$-$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|，
則（$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$）²=（$\overrightarrow{P{F}_{1}}$-$\overrightarrow{P{F}_{2}}$）²，
化簡可得$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，
即有P在以F₁F₂為直徑的圓上，
設P（m，n），雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，
焦點F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
聯(lián)立圓x²+y²=c²，和漸近線方程為y=$\frac{a}$x，
解方程不妨設P（a，b），
由|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=a，即為（a-c）²+b²=a²，
由a²+b²=c²，e=$\frac{c}{a}$＞1，
化簡可得2e²-2e-1=0，
解得e=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，
故雙曲線的離心率為$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的性質(zhì)，考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要是漸近線方程和離心率的求法，屬于中檔題．