Question

12．已知a＞0，a≠1，命題p：函數(shù)y=log_a（x+1）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，命題q：曲線y=x²+（2a-3）x+1與x軸交于不同的兩點(diǎn)，若p∧q為假命題，p∨q為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，1）∪（$\frac{5}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 先根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，和二次函數(shù)圖象和x軸交點(diǎn)的情況與判別式的關(guān)系即可求出命題p，q下的a的取值范圍．根據(jù)p∧q為假，p∨q為真即可判斷p，q的真假情況，根據(jù)p，q的真假情況即可求出a的取值范圍．

解答 解：p：∵函數(shù)y=log_a（x+1）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
∴0＜a＜1；
q：曲線y=x²+（2a-3）x+1與x軸交于不同的兩點(diǎn)；
∴△=（2a-3）²-4＞0，解得a＜$\frac{1}{2}$，或a＞$\frac{5}{2}$；
∵p∧q為假，p∨q為真，
∴p，q一真一假；
若p真q假，則：0＜a＜1，且$\frac{1}{2}$≤a≤$\frac{5}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$≤a＜1；
若p假q真，則：a＞1，且a＜$\frac{1}{2}$，或a＞$\frac{5}{2}$，
∴a＞$\frac{5}{2}$；
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為[$\frac{1}{2}$，1）∪（$\frac{5}{2}$，+∞），
故答案為：[$\frac{1}{2}$，1）∪（$\frac{5}{2}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)圖象和x軸交點(diǎn)的情況與判別式△的關(guān)系，p∧q，p∨q的真假和p，q真假的關(guān)系．