Question

20．設(shè)正項等比數(shù)列{a_n}的前n項之積為T_n，且T₁₄=128，則$\frac{1}{{a}_{7}}$+$\frac{1}{{a}_{8}}$的最小值是（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由等比數(shù)列可得a₇a₈=2，可得$\frac{1}{{a}_{7}}$+$\frac{1}{{a}_{8}}$=$\frac{{a}_{7}+{a}_{8}}{{a}_{7}{a}_{8}}$=$\frac{1}{2}$（a₇+a₈），由基本不等式求最值可得．

解答 解：由題意和等比數(shù)列的性質(zhì)可得T₁₄=（a₇a₈）⁷=128，
結(jié)合數(shù)列的項為正數(shù)可得a₇a₈=2，
∴$\frac{1}{{a}_{7}}$+$\frac{1}{{a}_{8}}$=$\frac{{a}_{7}+{a}_{8}}{{a}_{7}{a}_{8}}$=$\frac{1}{2}$（a₇+a₈）≥$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{{a}_{7}{a}_{8}}$=$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)a₇=a₈=$\sqrt{2}$時取等號，
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)和基本不等式求最值，屬基礎(chǔ)題．