Question

13．已知：如圖，設(shè)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作橢圓的切線，交準(zhǔn)線m于點(diǎn)Z，此時(shí)FZ⊥FP，過點(diǎn)P作PZ的垂線交橢圓的長軸于點(diǎn)G，橢圓的離心率為e，求證：FG=e•FP．

Answer 1

分析 過P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，連接NF，證明△NPF∽△FPG，即可證明FG=e•FP．

解答 證明：過P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，
∵FZ⊥FP，
∴P，F(xiàn)，Z，N四點(diǎn)共圓．
連接NF，則∠PNF=∠PZF，
∵PG⊥PZ，
∴∠FPG=∠PZF=∠PNF，
∵PN∥FG，
∴∠NPF=∠PFG，
∴△NPF∽△FPG，
∴$\frac{FG}{FP}=\frac{PF}{PN}$=e，
∴FG=e•FP．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的性質(zhì)，考查三角形相似的證明，正確證明三角形相似是關(guān)鍵．