Question

1．傳說古希臘畢達哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上面畫點或用小石子表示數(shù)．他們研究過如圖所示的三角形數(shù)：

將三角形數(shù)1，3，6，10，…記為數(shù)列{a_n}，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個新數(shù)列{b_n}，可以推測：
（1）a_n=$\frac{1}{2}$n（n+1）．
（2）b₂₀₁₂是數(shù)列{a_n}中的第5030項．

Answer 1

分析 由題設(shè)條件及圖可得出a_n+1=a_n+（n+1），由此遞推式可以得出數(shù)列{a_n}的通項為，a_n=$\frac{1}{2}$n（n+1），由此可列舉出三角形數(shù)1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，105，120，…，從而可歸納出可被5整除的三角形數(shù)每五個數(shù)中出現(xiàn)兩個，即每五個數(shù)分為一組，則該組的后兩個數(shù)可被5整除，由此規(guī)律即可求出b₂₀₁₂在數(shù)列{a_n}中的位置．

解答 解：

由前四組可以推知a_n=1+2+3+4+…+n=$\frac{1}{2}$n（n+1），
從而b₁=a₄=10，b₂=a₅=15，b₃=a₉=45，b₄=a₁₀=55，
依次可知，當(dāng)n=4，5，9，10，14，15，19，20，24，25，…時，
a_n能被5整除，由此可得，b_2k=a_5k（k∈N^*），
∴b₂₀₁₂=a_5×1006=a₅₀₃₀．
故答案為：$\frac{1}{2}$n（n+1），5030．

點評 本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系，數(shù)列的表示及歸納推理，解題的關(guān)鍵是由題設(shè)得出相鄰兩個三角形數(shù)的遞推關(guān)系，由此列舉出三角形數(shù)，得出結(jié)論“被5整除的三角形數(shù)每五個數(shù)中出現(xiàn)兩個，即每五個數(shù)分為一組，則該組的后兩個數(shù)可被5整除”，本題綜合性強，有一定的探究性，是高考的重點題型，解答時要注意總結(jié)其中的規(guī)律．