Question

5．如圖，橢圓M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，上、下頂點為A，B，點P（0，2）關(guān)于直線y=-x的對稱點在橢圓M上，過點P的直線l與橢圓M相交于兩個不同的點C，D（C在線段PD之間）．
（1）求橢圓M的方程；
（2）求$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$的取值范圍；
（3）當AD與BC相交于點Q時，試問：點Q的縱坐標是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知得a=2，又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，故c=$\sqrt{3}$，b=1，即可求橢圓M的方程；
（2）分類討論，y=kx+2代入橢圓方程消去y，得（1+4k²）x²+16kx+12=0，利用數(shù)量積公式求$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$的取值范圍；
（3）由題意得：AD：y=$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}}$x+1，BC：y=$\frac{{y}_{1}+1}{{x}_{1}}$x-1，聯(lián)立方程組，消去x，解得y=$\frac{2k{x}_{1}{x}_{2}+{x}_{1}+3{x}_{2}}{3{x}_{2}-{x}_{1}}$，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由已知得a=2，
又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，故c=$\sqrt{3}$，b=1，
∴橢圓M的方程$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．…（4分）
（2）①當直線l斜率不存在時，C（0，1），D（0，-1），$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$=-1；…（5分）
當直線斜率存在時，設(shè)直線l方程為y=kx+2，C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則
y=kx+2代入橢圓方程消去y，得（1+4k²）x²+16kx+12=0，
x₁+x₂=-$\frac{16k}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{12}{1+4{k}^{2}}$，
△＞0，可得4k²＞3，…（7分）
$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$=x₁x₂+y₁y₂=-1+$\frac{17}{1+4{k}^{2}}$，
∴得-1＜$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$＜$\frac{13}{4}$．
綜上可知，$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$的取值范圍是[-1，$\frac{13}{4}$）．…（10分）
②由題意得：AD：y=$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}}$x+1，BC：y=$\frac{{y}_{1}+1}{{x}_{1}}$x-1，
聯(lián)立方程組，消去x，解得y=$\frac{2k{x}_{1}{x}_{2}+{x}_{1}+3{x}_{2}}{3{x}_{2}-{x}_{1}}$，
又4kx₁x₂=-3（x₁+x₂），得y=$\frac{1}{2}$．
∴點Q的縱坐標為定值$\frac{1}{2}$．…（15分）

點評 本題考查橢圓方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．