Question

10．如圖，四棱錐P-ABCD，側(cè)面PAD是邊長為2的正三角形，且與底面垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M為PC的中點，N為AC中點．
（Ⅰ）求證：PC⊥AD；
（Ⅱ）在棱PB上是否存在一點Q，使得面MNQ平行面PAD，若存在，指出點Q的位置并證明；若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）求點D到平面PAM的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先證出線面垂直再證出線線垂直即可；
（Ⅱ）令Q為PB的中點，先證出線面垂直，再證出面面垂直；
（Ⅲ）點D到平面PAM的距離即點D到平面PAC的距離，根據(jù)V_D-PAC=V_P-ACD，求出點D到平面PAM的距離即可．

解答 解：（Ⅰ）方法一：取AD中點O，連結(jié)OP，OC，AC，
依題意可知：
△PAD，△ACD均為正三角形，
所以O(shè)C⊥AD，OP⊥AD，
又OC∩OP=O，OC?平面POC，OP?平面POC，
所以AD⊥平面POC，又PC?平面POC，
所以PC⊥AD．
方法二：連結(jié)AC、AM，依題意可知△PAC，△PCD均為邊長為2正三角形，
又M為PC的中點，所以AM⊥PC，DM⊥PC，
又AM∩DM=M，AM?平面AMD，DM?平面AMD，
所以PC⊥平面AMD，
又AD?平面AMD，所以PC⊥AD；
（Ⅱ）當(dāng)Q是PB中點時，平面MNQ∥PAD，
證明如下：
∵M、N是AC和PC的中點，∴MN∥AP，
∴MN∥平面PAD，
又∵Q、M是PB、PC的中點，∴QM∥BC∥AD，
∴QM∥平面PAD，
∵QM∩MN=M，
∴平面平面MNQ∥PAD；
（Ⅲ）點D到平面PAM的距離即點D到平面PAC的距離，
由（Ⅰ）可知PO⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
PO?平面PAD，所以PO⊥平面ABCD，
即PO為三棱錐P-ACD的高．
在RT△POC中，PO=OC=$\sqrt{3}$，PC=$\sqrt{6}$，
在△PAC中，PA=AC=2，PC=$\sqrt{6}$，
邊PC上的高AM=$\sqrt{{PA}^{2}{-PM}^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
所以△PAC的面積S_△PAC=$\frac{1}{2}$PC•AM=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{6}$×$\frac{\sqrt{10}}{2}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
設(shè)點D到平面PAC的距離為h，
由V_D-PAC=V_P-ACD，S_△ACD=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×2²=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{15}}{2}$•h=$\frac{1}{3}$×$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$，
解得：h=$\frac{2\sqrt{15}}{5}$，所以點D到平面PAM的距離為$\frac{2\sqrt{15}}{5}$．

點評 本題考察了線面、面面垂直的性質(zhì)即判定，考察線、面的距離，本題是一道中檔題．