Question

19．如圖，四邊形ABCD中，AB∥DC，AB，BC，DC，AD（或其延長線）分別與平面M相交于E，F(xiàn)，G，H，求證：E，F(xiàn)，G，H必在同一直線上．

Answer 1

分析 根據(jù)推論3及公理2可知，兩條平行直線AB和CD可以確定一個平面ABCD，并且平面ABCD與平面M的所有的公共點(diǎn)應(yīng)該在一條直線上，由此能證明E，F(xiàn)，G，H必在同一直線上．

解答 證明：∵AB∥CD，
∴AB，CD確定一個平面β．
又∵AB∩M=E，AB?β，∴E∈M，E∈β，
即E為平面M與β的一個公共點(diǎn)．
同理可證F，G，H均為平面M與β的公共點(diǎn)．
∵兩個平面有公共點(diǎn)，它們有且只有一條通過公共點(diǎn)的公共直線，
∴E，F(xiàn)，G，H必在同一直線上．

點(diǎn)評 在立體幾何的問題中，證明若干點(diǎn)共線時(shí)，常運(yùn)用公理2，即先證明這些點(diǎn)都是某二平面的公共點(diǎn)，而后得出這些點(diǎn)都在二平面的交線上的結(jié)論．