Question

11．若函數(shù)y=（log_ax）²-2log_ax+b（0＜a＜1）的定義域?yàn)閇2，4]，值域?yàn)閇$\frac{25}{4}$，8]，求a，b的值．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，求出函數(shù)y的最大與最小值，
再列出方程組，求出a、b的值．

解答 解：∵0＜a＜1，x∈[2，4]；
∴l(xiāng)og_ax∈[log_a4，log_a2]，
∴y=${{（log}_{a}x）}^{2}$-2log_ax+b的最大值是
y_max=${{（log}_{a}4）}^{2}$-2log_a4+b=8，
最小值是y_min=${{（log}_{a}2）}^{2}$-2log_a2+b=$\frac{25}{4}$；
∴y_max-y_min=${{（log}_{a}4）}^{2}$-2log_a4-${{（log}_{a}2）}^{2}$+2log_a2=$\frac{7}{4}$，
化簡得12${{（log}_{a}2）}^{2}$-8log_a2-7=0，
解得log_a2=-$\frac{1}{2}$或log_a2=$\frac{7}{6}$，
即a=$\frac{1}{4}$或a=${2}^{\frac{6}{7}}$（大于1，應(yīng)舍去）；
當(dāng)a=$\frac{1}{4}$時(shí)，b=5．
綜上，a=$\frac{1}{4}$、b=5．

點(diǎn)評 本題考查了對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題，考查了方程組的應(yīng)用問題，是綜合性題目．