Question

7．已知在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是DB的中點，直線A₁C交平面C₁BD于點M，判斷下列結論是否正確：
（1）C₁，M，O三點共線；
（2）C₁，M，O，C四點共面；
（3）C₁，O，A₁，M四點共面；
（4）D，D₁，O，M四點共面．

Answer 1

分析 由已知得C₁，M，O是平面ACC₁和平面BDC₁的公共點，由公理三得C₁，M，O三點共線，故（1）正確；由直線與直線外一點確定一個平面，得到（2）和（3）正確；由C₁O與DD₁是異面直線，得（4）錯誤．

解答 解：（1）∵O是DB的中點，∴AC∩BD=O，
∴O∈AC，且O∈BD，
∵AC?平面ACC₁，BD?平面BDC₁，
∴O∈平面ACC₁，且O∈平面BDC₁，
∵直線A₁C交平面C₁BD于點M，
∴M∈A₁C，且M∈平面BDC₁，
∵A₁C?平面ACC₁，∴M∈平面ACC₁，
∵C₁∈平面ACC₁，且C₁∈平面BDC₁，
∴C₁，M，O是平面ACC₁和平面BDC₁的公共點，
∴C₁，M，O三點共線，故（1）正確．
（2）∵C₁，M，O三點共線，且C不在這條直線上，
∴由直線與直線外一點確定一個平面，得C₁，M，O，C四點共面，故（2）正確．
（3）∵C₁，M，O三點共線，且A₁不在這條直線上，
∴由直線與直線外一點確定一個平面，得C₁，O，A₁，M四點共面，故（3）正確．
（4）∵C₁O與DD₁是異面直線，M∈C₁O，
∴D，D₁，O，M四點不共面，故（4）錯誤．

點評 本題考查命題真假的判斷，是基礎題，解題時要認真審題，注意平面的基本性質及其推論的合理運用．