Question

1．已知橢圓焦點在x軸上，短軸長為2，離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，直線l：y=-2任取橢圓上一點P（異于短軸端點M、N）直線MP、NP分別交直線l于點T、S，則|ST|的最小值為多少？

Answer 1

分析 利用橢圓離心率的意義和a、b、c的關(guān)系即可求出橢圓的方程；先設(shè)出點T、S的坐標，可寫出直線MT、NS的方程，聯(lián)立即可得出點P的坐標，再代入橢圓方程即可得出s、t的關(guān)系，進而求出|ST|最小值．

解答 解：根據(jù)題意，得b=1，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴b²=1，a²=4，
∴橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，
設(shè)點S（s，-2），T（t，-2）不妨設(shè)t＞0，s＜0．
則直線SN的方程為：y=-$\frac{1}{s}$x-1；
直線TM的方程為：y=-$\frac{3}{t}$x+1．
聯(lián)立直線SN、TM方程$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{s}x-1}\\{y=-\frac{3}{t}x+1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2ts}{3s-t}}\\{y=-\frac{3s+t}{3s-t}}\end{array}\right.$，
即點P（$\frac{2ts}{3s-t}$，-$\frac{3s+t}{3s-t}$）．
代入橢圓的方程得$\frac{{s}^{2}{t}^{2}}{（3s-t）^{2}}$+$\frac{（3s+t）^{2}}{（3s-t）^{2}}$=1，化為st=-12．
∴|ST|=t-s=t+$\frac{12}{t}$≥2$\sqrt{t•\frac{12}{t}}$=4$\sqrt{3}$，
當且僅當t=2$\sqrt{3}$時取等號，
即|ST|的最小值為4$\sqrt{3}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，熟練掌握橢圓的定義與性質(zhì)、直線相交問題的解法是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．