Question

8．已知函數(shù)f（x）=|x²-ax|-2，且函數(shù)f（x+2）是偶函數(shù)．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）設(shè)函數(shù)y=g（x），集合M={x|g（x）-x=0}，N={x|g（g（x））-x=0}．
①證明：M⊆N；
②如果g（x）=f（|x|），集合P={x|g（x）-x=0，且|x|≤2}，那么集合P中的元素個數(shù)為2．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)f（x）=|x²-ax|-2，且函數(shù)f（x+2）是偶函數(shù)．可得函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱，根據(jù)函數(shù)的對稱性，可得實數(shù)a的值；
（2）①根據(jù)集合M={x|g（x）-x=0}，N={x|g（g（x））-x=0}，可得當x∈M時，x∈N，進而根據(jù)子集的定義，得到答案．
②根據(jù)g（x）=f（|x|），求解g（x）-x=0，且|x|≤2，可得集合P，進而得到答案．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=|x²-ax|-2，且函數(shù)f（x+2）是偶函數(shù)．
∴函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱，
即f（x）=f（4-x），
即|x²-ax|-2=|（4-x）²-a（4-x）|-2恒成立，
解得：a=4；
（2）證明：①∵集合M={x|g（x）-x=0}，N={x|g（g（x））-x=0}．
當M=∅時，滿足M⊆N；
當M≠∅時，若x∈M，即g（x）-x=0，即g（x）=x，
此時g（g（x））=g（x）=x，即g（g（x））-x=0，
即x∈N，
即N的元素都是M的元素，
故M⊆N；
②如果g（x）=f（|x|）=||x²-4x|-2|，
∴集合P={x|g（x）-x=0，且|x|≤2}={x|||x²-4x|-2|-x=0，且|x|≤2}，
∵|x|≤2，
∴-2≤x≤2，
當-2≤x＜0時，y=||x²-4x|-2|的圖象在第二象限，與y=x的圖象無交點，
當0≤x＜2-$\sqrt{2}$時，y=||x²-4x|-2|=x²-4x+2，解x²-4x+2=x得：x=$\frac{5-\sqrt{17}}{2}$，或x=$\frac{5+\sqrt{17}}{2}$（舍去），
當2-$\sqrt{2}$≤x≤2時，y=||x²-4x|-2|=-x²+4x-2，解-x²+4x-2=x得：x=2，或x=1（舍去），
綜上所述，P={x|g（x）-x=0，且|x|≤2}={$\frac{5-\sqrt{17}}{2}$，2]，
即集合P的元素個數(shù)為2，
故答案為：2．

點評 本題考查的知識點是函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，子集的定義，是函數(shù)與集合的綜合應(yīng)用，難度中檔．