Question

19．已知函數(shù)f（x）=（$\sqrt{3}$sinωx+cosωx）•cosωx（ω為常數(shù)，且ω∈（0，1）），且f（x）圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{2}$對稱．
（1）求最小正周期及f（x）的解析式；
（2）將函數(shù)y=f（x）圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{3}$，再將所得圖象向右平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位（縱坐標(biāo)保持不變）得到y(tǒng)=h（x）的圖象，求函數(shù)y=h（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最值并指出取最值時(shí)x的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變化化簡函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象的對稱性，求得ω=$\frac{1}{3}$，可得f（x）的解析式．
（2）由條件利用y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得h（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得h（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最值以及取最值時(shí)x的值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=（$\sqrt{3}$sinωx+cosωx）•cosωx=$\sqrt{3}$sinωx•cosωx+cos²ωx
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx+$\frac{1+cos2ωx}{2}$=sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
再根據(jù)f（x）圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{2}$對稱可得2ω×$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即ω=k+$\frac{1}{3}$，
再結(jié)合ω∈（0，1），可得ω=$\frac{1}{3}$，故f（x）=sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$．
（2）將函數(shù)y=f（x）圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{3}$，可得y=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$ 的圖象．
再將所得圖象向右平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位（縱坐標(biāo)保持不變），
得到y(tǒng)=h（x）=sin[2（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]+$\frac{1}{2}$=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$ 的圖象，
在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，故當(dāng)2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{6}$，即x=0時(shí)，函數(shù)h（x）取得最小值為0；
當(dāng)2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{3}$時(shí)，函數(shù)h（x）取得最大值為$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查三角恒等變換、y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的定義域和值域，正弦函數(shù)的圖象的對稱性，屬于中檔題．