Question

7．已知△ABC中，2cos2C=8sin²$\frac{A+B}{2}$-7．
（1）求角C的大�。�
（2）求cos2A+2cos²B的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由三角形的內(nèi)角和公式及二倍角公式可得，4sin²$\frac{A+B}{2}$-cos2C=4×$\frac{1+cosC}{2}$-（2cos2C-1）=$\frac{7}{2}$，從而可得4×$\frac{1+cosC}{2}$-（2cos2C-1）=$\frac{7}{2}$解方程可求 cosC，進而求C；
（2）由（I）得A+B=$\frac{2π}{3}$，利用三角函數(shù)恒等變換化簡可得cos2A+2cos²B=cos（2A+$\frac{π}{3}$）+1，由A∈（0，$\frac{2π}{3}$），2A+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{3}$），可得cos（2A+$\frac{π}{3}$）∈[-1，$\frac{1}{2}$），即可得解．

解答 解：（1）∵A，B，C為三角形的內(nèi)角，2cos2C=8sin²$\frac{A+B}{2}$-7．
∴A+B+C=π，
∵4sin2 $\frac{A+B}{2}$-cos2C=$\frac{7}{2}$，
∴4cos2 $\frac{C}{2}$-cos2C=$\frac{7}{2}$，
∴4×$\frac{1+cosC}{2}$-（2cos2C-1）=$\frac{7}{2}$
即2cos2C-2cosC+$\frac{1}{2}$=0，
∴cosC=$\frac{1}{2}$，
∵0＜C＜π．
∴C=$\frac{π}{3}$．
（2）由（I）得A+B=$\frac{2π}{3}$，
∴cos2A+2cos²B=cos2A+cos2B+1=cos2A+cos2（$\frac{2π}{3}$-A）+1=$\frac{1}{2}$cos2A-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2A+1
=cos（2A+$\frac{π}{3}$）+1
∵A∈（0，$\frac{2π}{3}$），2A+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{3}$），cos（2A+$\frac{π}{3}$）∈[-1，$\frac{1}{2}$），
∴cos2A+2cos²B=cos（2A+$\frac{π}{3}$）+1∈[0，$\frac{3}{2}$）．

點評 本題主要考查了利用二倍角公式對三角函數(shù)式進行化簡、求值，還考查了輔助角公式的應用及正弦函數(shù)的性質(zhì)的應用，屬于基礎知識的簡單綜合運用，屬于中檔題．