Question

1．如圖是某市2017年3月1日至16日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖，空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）小于100表示空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染，某人隨機(jī)選擇3月1日至3月14日中的某一天到達(dá)該市．

（1）若該人到達(dá)后停留2天（到達(dá)當(dāng)日算1天），求此人停留期間空氣質(zhì)量都是重度污染的概率；
（2）若該人到達(dá)后停留3天（到達(dá)當(dāng)日算1天），設(shè)X是此人停留期間空氣重度污染的天數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）設(shè)A_i表示事件“此人于3月i日到達(dá)該市”（i=1，2，…，14），依題意知P（A_i）=$\frac{1}{14}$，且A_i∩A_j=∅（i≠j），由此能求出此人停留2天空氣質(zhì)量都是重度污染的概率．
（2）由題意可知，X的所有可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列及X的期望E（X）．

解答 解：（1）設(shè)A_i表示事件“此人于3月i日到達(dá)該市”（i=1，2，…，14）．
依題意知P（A_i）=$\frac{1}{14}$，且A_i∩A_j=∅（i≠j）．
設(shè)B為事件“此人停留2天空氣質(zhì)量都是重度污染”，則B=A₁∪A₂∪A₁₂∪A₁₃∪A₁₄，
∴此人停留2天空氣質(zhì)量都是重度污染的概率為：
P（B）=P（A₁）+P（A₂）+P（A₁₂）+P（A₁₃）+P（A₁₄）=$\frac{5}{14}$．
（2）由題意可知，X的所有可能取值為0，1，2，3，
P（X=0）=P（A₄∪A₈∪A₉）=$\frac{3}{14}$，
P（X=1）=P（A₃∪A₅∪A₆∪A₇∪A₁₀）=$\frac{5}{14}$，
P（X=2）=P（A₂∪A₁₁∪A₁₄）=$\frac{3}{14}$，
P（X=3）=P（A₁∪A₁₂∪A₁₃）=$\frac{3}{14}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{3}{14}$	$\frac{5}{14}$	$\frac{3}{14}$	$\frac{3}{14}$

故X的期望E（X）=$0×\frac{3}{14}+1×\frac{5}{14}+2×\frac{3}{14}+3×\frac{3}{14}$=$\frac{10}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，考查互斥事件概率加法公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．