Question

12．如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面積ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中點(diǎn)，PA⊥底面ABCD，PA=$\sqrt{3}$
（1）證明：平面PBE⊥平面PAB；
（2）過(guò)PC中點(diǎn)FFH∥平面PBD，F(xiàn)H交平面ABCD于H點(diǎn)，判定H點(diǎn)位于平面ABCD的那個(gè)具體位置？（至少寫出兩個(gè)位置，無(wú)須證明）
（3）求二面角A-BE-P的大�。�

Answer 1

分析 （1）連結(jié)BD，由已知可得BE⊥CD，則BE⊥AB．再由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥BE．則BE⊥平面PAB．從而得到平面PBE⊥平面PAB；
（2）1、H點(diǎn)與E點(diǎn)重合；2、H點(diǎn)在AC線段的4等分點(diǎn)上，且距離C點(diǎn)$\frac{\sqrt{3}}{4}$；3、取BC中點(diǎn)G，容易證明平面EFG∥平面PBD，那么平面EFG內(nèi)任意一直線都與平面PBD平行，也就是H點(diǎn)在EG直線上都滿足題意；
（3）由（1）知，BE⊥平面PAB，PB?平面PAB，則PB⊥BE，結(jié)合AB⊥BE，可知∠PBA是二面角A-BE-P的平面角．求解直角三角形可得二面角A-BE-P的大小．

解答 （1）證明：如圖所示，連結(jié)BD，由ABCD是菱形且∠BCD=60°，
知△BCD是等邊三角形．
∵E是CD的中點(diǎn)，∴BE⊥CD，
又AB∥CD，∴BE⊥AB．
又∵PA⊥平面ABCD，BE?平面ABCD，
∴PA⊥BE．
而PA∩AB=A，
∴BE⊥平面PAB．
又BE?平面PBE，
∴平面PBE⊥平面PAB；
（2）解：1、H點(diǎn)與E點(diǎn)重合；
2、H點(diǎn)在AC線段的4等分點(diǎn)上，且距離C點(diǎn)$\frac{\sqrt{3}}{4}$；
3、取BC中點(diǎn)G，容易證明平面EFG∥平面PBD，那么平面EFG內(nèi)任意一直線都與平面PBD平行，
就是H點(diǎn)在EG直線上都滿足題意；
（3）解：由（1）知，BE⊥平面PAB，PB?平面PAB，
∴PB⊥BE．又AB⊥BE，
∴∠PBA是二面角A-BE-P的平面角．
在Rt△PAB中，tan∠PBA=$\frac{PA}{AB}$=$\sqrt{3}$，∠PBA=60°．
故二面角A-BE-P的大小是60°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面與平面垂直的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了二面角的平面角的求法，是中檔題．