Question

10．已知正項等比數列{b_n}的前n項和為S_n，b₃=4，S₃=7，數列{a_n}滿足a_n+1-a_n=n+1（n∈N*），且a₁=b₁．
（1）求數列[a_n}的通項公式；
（2）設數列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n項和S_n，求證：S_n＜2．

Answer 1

分析 （1）根據題意，設等比數列{b_n}的公比為q，由b₃=4，S₃=7，可得$\left\{\begin{array}{l}{_{1}{q}^{2}=4}\\{_{1}（1+q+{q}^{2}）=7}\end{array}\right.$，解得：b₁，q，可得a₁=b₁=1．又a_n+1-a_n=n+1（n∈N*），利用a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁即可得出．
（2）由$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．利用裂項求和方法即可得出．

解答 （1）解：根據題意，設等比數列{b_n}的公比為q，由b₃=4，S₃=7，
可得$\left\{\begin{array}{l}{_{1}{q}^{2}=4}\\{_{1}（1+q+{q}^{2}）=7}\end{array}\right.$，解得：b₁=1，q=2，
∴a₁=b₁=1．
又a_n+1-a_n=n+1（n∈N*），
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=n+（n-1）+…+2+1
=$\frac{n（n+1）}{2}$．
（2）證明：$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴S_n=2$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=2$（1-\frac{1}{n+1}）$＜2．

點評 本題考查了數列遞推關系、等差數列與等比數列的通項公式與求和公式、裂項求和方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．