Question

11．已知A，B是兩個定點(diǎn)，且|AB|=2，動點(diǎn)M到A的距離為4，線段MB的垂直平分線l交MA于點(diǎn)P．
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）若點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)的距離之積為m，則m取最大值時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意畫出圖形，利用垂直平分線轉(zhuǎn)換線段的關(guān)系得到PA+PB=4，據(jù)橢圓的定義即可得到動點(diǎn)P的軌跡方程．
（2）利用基本不等式，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）以線段AB的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AB為x軸，線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系．
由線段MB的垂直平分線l交MA于點(diǎn)P知，PB=PM
故PA+PB=PA+PM=AM=4，
即P點(diǎn)的軌跡為以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，中心為（0，0），
故P點(diǎn)的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）∵PA+PB=4≥2$\sqrt{PA•PB}$，∴PA•PB≤4，
當(dāng)且僅當(dāng)PA=PB時，PA•PB，即m取最大值，此時P（0，±$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評 定義法：運(yùn)用解析幾何中一些常用定義（例如圓錐曲線的定義），可從曲線定義出發(fā)直接寫出軌跡方程，或從曲線定義出發(fā)建立關(guān)系式，從而求出軌跡方程．