Question

5．△ABC的頂點A在y²=4x上，B，C兩點在直線x-2y+5=0上，若$|{\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}}|$=2$\sqrt{5}$，則△ABC面積的最小值為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• B． 1
• C． 2
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由題意設A（$\frac{{m}^{2}}{4}$，m），運用點到直線的距離公式求得d，通過配方求得d的最小值，再由三角形的面積公式可得面積的最小值為1．

解答 解：由題意設A（$\frac{{m}^{2}}{4}$，m），|BC|=2$\sqrt{5}$，
A到直線BC的距離d=$\frac{|\frac{{m}^{2}}{4}-2m+5|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|（m-4）^{2}+4|}{4\sqrt{5}}$≥$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
當m=4時，d取得最小值，且為1．
則△ABC面積S=$\frac{1}{2}$d•|BC|=$\sqrt{5}$d≥1．
且當A（4，4）時，面積取得最小值，且為1．
故選：B．

點評 本題考查拋物線的方程和運用，主要考查點到直線的距離公式的運用，考查運算能力，屬于中檔題．