Question

16．log₃$\underset{\underbrace{\sqrt{3…\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}\sqrt{3}}}}}}{n}$=$1-\frac{1}{{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 利用根式的性質(zhì)與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式$\underset{\underbrace{\sqrt{3…\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}\sqrt{3}}}}}}{n}$=${3}^{1-\frac{1}{{2}^{n}}}$，再利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵$\underset{\underbrace{\sqrt{3…\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}\sqrt{3}}}}}}{n}$=${3}^{\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}}$=${3}^{\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}}$=${3}^{1-\frac{1}{{2}^{n}}}$，
∴原式=$lo{g}_{3}{3}^{1-\frac{1}{{2}^{n}}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．
故答案為：1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．

點(diǎn)評 本題考查了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．