Question

4．已知x、y滿足以下約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥5}\\{x-y+5≤0}\\{x≤3}\end{array}\right.$，若z=x+ay（a＞0）取得最小值為$\frac{5}{2}$，則a=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 作出不等式對應的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識，要使目標函數(shù)的最小值為$\frac{5}{2}$，然后根據(jù)條件即可求出a的值．

解答 解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）．
由z=x+ay（a＞0）得y=-$\frac{1}{a}$x+$\frac{z}{a}$，
∵a＞0，∴目標函數(shù)的斜率k=-$\frac{1}{a}$＜0．
平移直線y=-$\frac{1}{a}$x+$\frac{z}{a}$，
由圖象可知當直線y=-$\frac{1}{a}$x+$\frac{z}{a}$和直線AB：x+y=5相交時，此時目標函數(shù)取得最小值為$\frac{5}{2}$，
此時由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=5}\\{x-y+5=0}\end{array}\right.$得A（0，5），所以5a=$\frac{5}{2}$，即a=$\frac{1}{2}$．即目標函數(shù)為z=x+$\frac{1}{2}$y，
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用數(shù)形結合是解決線性規(guī)劃問題中的基本方法．