Question

12．已知函數(shù)f（x）在實數(shù)集R上具有下列性質(zhì)：
①f（x+2）=-f（x）；
②f（x+1）是偶函數(shù)；
③當x₁≠x₂∈[1，3]時，（f（x₂）-f（x₁））（x₂-x₁）＜0．
則f（2011），f（2012），f（2013）的大小關系為（　�。�

• A． f（2011）＞f（2012）＞f（2013）
• B． f（2012）＞f（2011）＞f（2013）
• C． f（2013）＞f（2011）＞f（2012）
• D． f（2013）＞f（2012）＞f（2011）

Answer 1

分析 根據(jù)條件判斷函數(shù)的周期性，對稱性和單調(diào)性，將函數(shù)值進行轉(zhuǎn)化，進行比較即可．

解答 解：由f（x+2）=-f（x）得f（x+4）=-f（x+2）=f（x）；
即函數(shù)f（x）是周期為4的周期函數(shù)．
若f（x+1）是偶函數(shù)，則f（-x+1）=f（x+1），則函數(shù)f（x）關于x=1對稱，
當x₁≠x₂∈[1，3]時，（f（x₂）-f（x₁））（x₂-x₁）＜0．
則此時函數(shù)為減函數(shù)，
則f（2011）=f（502×4+3）=f（3），
f（503×4）=f（0）=f（2），
f（2013）=f（503×4+1）=f（1），
∵當x∈[1，3]時，函數(shù)f（x）為減函數(shù)，
∴f（1）＞f（2）＞f（3），
即f（2013）＞f（2012）＞f（2011），
故選：D

點評 本題主要考查函數(shù)值的大小比較，根據(jù)條件判斷函數(shù)的周期性，對稱性和單調(diào)性是解決本題的關鍵．